Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠B=90°，∠C=60°，AD=CD，點E在射線BC上，將△ABE沿AE翻折，點B落到點F處，射線EF與射線CD交于點M．
（1）當點M在CD邊上時（如圖a），求證：FM一DM=

3

3

AB
（2）當點E在BC邊的延長線上時（如圖b），線段FM、DM、AB的數量關系

DM-FM=

3

3

AB

（3）在（2）的條件下，過A點作AG⊥CM，垂足為點G，設直線BG與直線AM交于點N，若AD=6，FM=1，求GN的長

Answer 1

分析：（1）利用過點A作AG⊥CD，交CD的延長線于點G，連接AG，AM，進而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案；
（2）首先連接AM，AC，作AG⊥MC于點G，進而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案；
（3）首先利用勾股定理得出BE與CE的長，進而利用利用相似三角形的判定得出△AGN∽△ACE，即可得出GN的長．

解答：解：（1）過點A作AG⊥CD，交CD的延長線于點G，連接AG，AM
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴FM-DM=

3

3

AB；

（2）連接AM，AC，作AG⊥MC于點G，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AB⊥BC，AG⊥MC，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM-DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴DM-FM=

3

3

AB，
故答案為：DM-FM=

3

3

AB；

（3）連接AC，過點M作MH⊥BC于H，過點D作DK⊥BC于K，
∵AD=6，FM=1，
∴KC=3，DK=3

3

，AB=3

3

，BC=9，
又∵（2）知：DM-FM=

3

3

AB，
∴DM=

3

3

×3

3

+1=4，
∴MC=10，HC=5，MH=5

3

，BH=4，
設BE=x，則FE=x，ME=x-1，HE=x-4，
∵MH²+HE²=ME²，
∴（5

3

）²+（x-4）²=（x-1）²，
  解得：x=15，
∴BE=15，CE=6，
∵∠BCG=60°，
∴∠ECG=120°，
由（1）知Rt△AMG≌Rt△AMF，∠BCA=∠ACG=30°，
∴∠MAG=∠MAF，設∠BAE=m°，∠FAM=n°，則∠BAF=m°，∠GAF=2n°，
∴2m-2n=120°，m-n=60°，
∴∠EAM=60°，
又∵∠CAG=60°，
∴∠GAN=∠CAE，
∵∠AGN=∠ACE=150°，
∴△AGN∽△ACE，
∵AG=

1

2

AC，
∴

GN

CE

=

AG

AC

=

1

2

，
∴GN=

1

2

CE=3．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及相似三角形的判定與性質和全等三角形的判定等知識，根據已知得出全等三角形與相似三角形是解題關鍵．