Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在x軸上，D在y軸上，AB∥CD，AD=BC=

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，AB=5，CD=3，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點．
（1）求b、c；
（2）設M是x軸上方拋物線上的一動點，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值；
（3）當（2）中M點運動到使d取最大值時，此時記點M為N，設線段AC與y軸交于點E，F為線段EC上一動點，求F到N點與到y軸的距離之和的最小值，并求此時F點的坐標．

Answer 1

（1）易得A（-1，0）B（4，0），
把x=-1，y=0；
x=4，y=0分別代入y=-x²+bx+c，
得

-1-b+c=0 -16+4b+c=0

，
解得

b=3 c=4

．（3分）

（2）設M點坐標為（a，-a²+3a+4），
d=|a|-a²+3a+4．
①當-1＜a≤0時，d=-a²+2a+4=-（a-1）²+5，
所以，當a=0時，d取最大值，值為4；
②當0＜a＜4時，d=-a²+4a+4=-（a-2）²+8
所以，當a=2時，d取最大值，最大值為8；
綜合①、②得，d的最大值為8．
（不討論a的取值情況得出正確結果的得2分）

（3）N點的坐標為（2，6），
過A作y軸的平行線AH，過F作FG⊥y軸交AH于點Q，過F作FK⊥x軸于K，
∵∠CAB=45°，AC平分∠HAB，
∴FQ=FK
∴FN+FG=FN+FK-1，
所以，當N、F、K在一條直線上時，FN+FG=FN+FK-1最小，最小值為5．
易求直線AC的函數關系式為y=x+1，把x=2代入y=x+1得y=3，
所以F點的坐標為（2，3）．