Question

己知：拋物線y=x²-（k+1）x+k
（1）試求k為何值時，拋物線與x軸只有一個公共點；
（2）如圖，若拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的負半軸交于點C，試問：是否存在實數k，使△AOC與△COB相似？若存在，求出相應的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知；當y=0時，方程x²-（k+1）x+k=0，只有一個解，
即：△=（k+1）²-4k=（k-1）²=0，
∴k=1，
即：當k=1時，拋物線與x軸只有一個公共點．

（2）分兩種情況進行討論：
①當∠CAO=∠BCO時．
=，
即CO²=AO•BO，
由于CO=k，AO•BO=-k，
k²=-k，k（k+1）=0，
∴k=0，k=-1．
當k=0時，C點與B點或A點重合，
因此不合題意舍去．
②當∠ACO=∠BCO時，
∵∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC，
因此△AOC≌△BOC，那么y軸就是拋物線的對稱軸，
即=0，k=-1．
綜上所述，當k=-1時，△AOC與△COB相似．
分析：（1）拋物線與x軸只有一個交點，也就是說當y=0時，得出的關于x的二元一次方程只有一個解，即△=0，可據此求出k的值．
（2）要分兩種情況進行討論：
①當∠CAO=∠BCO時，那么∠ACB=90°，根據射影定理可得出OC²=OA•OB、OC是C的縱坐標的絕對值，而OA、OB分別是（1）中方程的兩個根的絕對值，那么可據此求出k的取值．
②當∠ACO=∠BCO時，此時三角形AOC與BOC全等，那么對稱軸就是x=0，據此可求出k的值．
點評：本題主要考查了二次函數與二元一次方程的關系，根據根與系數的關系來求解是本題的基本思路．注意（2）中要分類進行討論．