Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與直線y=x－1交于A、B兩點.點A的橫坐標為－3，點B在y軸上，點P是y軸左側拋物線上的一動點，橫坐標為m，過點P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D.
（1）求拋物線的解析式；
（2）當m為何值時，；
（3）是否存在點P,使△PAD是直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）y=x²+4x-1；（2）∴m=,-2，或-3時S_{四邊形OBDC}=2SS_△BPD

試題分析：（1）由x=0時帶入y=x-1求出y的值求出B的坐標，當x=-3時，代入y=x-1求出y的值就可以求出A的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式；
（2）連結OP，由P點的橫坐標為m可以表示出P、D的坐標，可以表示出S_{四邊形OBDC}和2S_△BPD建立方程求出其解即可．

（3）如圖2，當∠APD=90°時，設出P點的坐標，就可以表示出D的坐標，由△APD∽△FCD就可與求出結論，如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，就有,可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性質就可以求出結論．
試題解析：
∵y=x-1，∴x=0時，y=-1，∴B（0，-1）．
當x=-3時，y=-4，∴A（-3，-4）．
∵y=x²+bx+c與直線y=x-1交于A、B兩點，∴
∴∴拋物線的解析式為：y=x²+4x-1；
（2）∵P點橫坐標是m（m＜0），∴P（m，m²+4m-1），D（m，m-1）
如圖1①，作BE⊥PC于E，  ∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴PD=1-4m-m²-1+m=-3m-m²，
∴
解得：m₁=0（舍去），m₂=-2，m₃=
如圖1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=1-4m-m²+1-m=2-4m-m²，

解得：m=0（舍去）或m=-3，
∴m=,-2，或-3時S_{四邊形OBDC}=2S_△BPD；
）如圖2，當∠APD=90°時，設P（a，a²+4a-1），則D（a，a-1），
∴AP=m+4，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴DP=1-4m-m²-1+m=-3m-m²．
在y=x-1中，當y=0時，x=1，
∴（1，0），
∴OF=1，∴CF=1-m．AF=4
∵PC⊥x軸，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
 ∴
解得：m=1舍去或m=-2，∴P（-2，-5）
如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，
∴∠AEF=90°．CE=-3-m，EF=4，AF=4
PD=1-m-（1-4m-m²）=3m+m²．
∵PC⊥x軸，∵PC⊥x軸，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．

∴AD=(-3-m)
∵△PAD∽△FEA，
∴

∴m=-2或m=-3
∴P（-2，-5）或（-3，-4）與點A重合，舍去，
∴P（-2，-5）．