Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，直徑GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延長線相交于E．
（1）求證：∠OAD=∠E；
（2）若OD=1，DE=3，試求⊙O的半徑；
（3）當(dāng)是什么類型的弧時(shí)，△CED的外心在△CED的外部、內(nèi)部、一邊上．（只寫結(jié)論，不用證明）

Answer 1

（1）證明：連接OB，
∵GH⊥AB，
∴．
∴∠AOG=∠GOB=∠AOB．
∵∠ACB=∠AOB，
∴∠AOG=∠ACB．
∴∠AOD=∠DCE．
又∠ADO=∠CDE，
∴∠OAD=∠E．

（2）解：連接OC，則∠OAD=∠OCA，
∵∠OAD=∠E，
∴∠OCD=∠E．
∵∠DOC=∠COE，
∴△OCD∽△OEC．
∴=．
∴OC²=OE•OD=（1+3）×1=4．
∴OC=2．
即⊙O的半徑為2．

（3）解：當(dāng)是劣弧時(shí)，△CED的外心在△CED的外部；
當(dāng)是半圓時(shí)，△CED的外心在△CED的邊上；
當(dāng)是優(yōu)弧時(shí)，△CED的外心在△CED的內(nèi)部．
分析：（1）由于三角形CDE和AOD中已經(jīng)有一組對(duì)頂角，那么我們可通過證明它們的外角∠AOG和∠ACB相等來證∠OAD=∠E．根據(jù)垂徑定理我們不難得出弧AG=弧BG，那么根據(jù)圓周角定理我們不難得出∠AOG=∠ACB，由此可得證．
（2）我們可通過構(gòu)建與OE，OD和圓的半徑相關(guān)的相似三角形進(jìn)行求解．連接OC，那么只要證明三角形ODC和OEC相似，即可得出關(guān)于上述三條線段的比例關(guān)系，從而求出半徑，那么關(guān)鍵是正這兩個(gè)三角形相似，已知了一個(gè)公共角，我們通過等邊對(duì)等角可得出∠OAC=∠OCA，又由（1）的結(jié)果，便可得出∠OCA=∠E．由此就能證出這兩三角形相似，得出OD，OE，OC三條線段的比例關(guān)系式后即可求出OC即圓的半徑．
（3）其實(shí)就是看∠ACB的度數(shù)，如果∠ACB是個(gè)鈍角（弧AGB是優(yōu)弧）那么點(diǎn)O在三角形外部，如果∠ACB是個(gè)銳角（弧AGB是劣弧），那么點(diǎn)O在三角形內(nèi)部，如果∠ACB是個(gè)直角（弧AGB是個(gè)半圓），那么點(diǎn)O在AB上．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的外心，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．