Question

【題目】 如圖，點E、F分別為正方形ABCD的邊BC、CD上一點，AC、BD交于點O，且∠EAF＝45°，AE，AF分別交對角線BD于點M，N，則有以下結論：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上結論中，正確的個數有（　）個．

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，由旋轉的性質得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知條件得到∠EAH=∠EAF=45°，根據全等三角形的性質得到EH=EF，所以∠ANM=∠AEB，則可求得②正確；

根據三角形的外角的性質得到①正確；

根據相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正確；

根據相似三角形的性質得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根據勾股定理得到AE＝AN，再根據相似三角形的性質得到EF＝MN，于是得到S△AEF=2S△AMN．故④正確．

如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH

由旋轉的性質得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF

∵∠EAF＝45°

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°

∴∠EAH＝∠EAF＝45°

在△AEF和△AEH中

∴△AEF≌△AEH（SAS）

∴EH＝EF

∴∠AEB＝∠AEF

∴BE+BH＝BE+DF＝EF，

故②正確

∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，

∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH

∴∠ANM＝∠AEB

∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；

故③正確，

∵AC⊥BD

∴∠AOM＝∠ADF＝90°

∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO

∴△OAM∽△DAF

故①正確

連接NE，

∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME

∴△AMN∽△BME

∴

∴

∵∠AMB＝∠EMN

∴△AMB∽△NME

∴∠AEN＝∠ABD＝45°

∵∠EAN＝45°

∴∠NAE＝NEA＝45°

∴△AEN是等腰直角三角形

∴AE＝

∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME

∴△AMN∽△AFE

∴

∴

∴

∴S△AFE＝2S△AMN

故④正確

故選D．