Question

如圖1，已知⊙O的半徑為2，點A的坐標為（-4，0），點B為⊙O上的動點，以AB為邊向外做正方形ABCD．
（1）當點B在y軸的正半軸上時，如圖2，求點C的坐標．
（2）當直線AB與⊙O相切時，求直線AB的解析式．
（3）設動點B的橫坐標為m，正方形ABCD的面積為S，求出S與m的函數關系式，并判斷正方形ABCD的面積是否存在最大值或最小值？如果存在，求出m的值，如果不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖2，過點C作CE⊥y軸于點E，構建全等三角形（△ABO≌△BCE），根據全等三角形的對應邊相等證得OB=EC=2，OA=EB=4，則OE=OB+EB=6，所以C（-2，6）；
（2）如圖3，連接OB，過點B作BD⊥OA于點D．利用切線的性質證得∠ABO=90°．通過解直角△ABO和直角△ABD可以求得點B的坐標是B（-1，

3

）．然后把點A、B的坐標分別代入直線AB的方程
y=kx+b（k≠0），列出關于k、b數的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（3）理由勾股定理求得AB²=AD²+BD²=（4+m）²+4-m²=8m+20．即S=8m+20．所以結合圖形可知-2≤m≤2，則4≤S≤36．即當m=2時，S_最大值=36；當m=-2時，S_最小值=4．

解答：解：（1）如圖2，∵⊙O的半徑為2，點A的坐標為（-4，0），四邊形ABCD是正方形，
∴OA=4，OB=2，AB=BC，∠ABC=90°．
過點C作CE⊥y軸于點E，則∠1=∠2（同腳的余角相等）．
∵在△ABO與△BCE中，

∠AOB=∠BEC ∠1=∠2 AB=BC

，
∴△ABO≌△BCE（ASA），
∴OB=EC=2，OA=EB=4，
∴OE=OB+EB=2+4=6，
∴C（-2，6）；

（2）如圖3，連接OB，過點B作BD⊥OA于點D．
∵AB是⊙O的切線，
∴∠ABO=90°．
∵OB=2，OA=4，
∴OB=

1

2

OA，
∴∠BAO=30°，
∴AB=2

3

，
∴BD=

3

，AD=3，則OD=OA-AD=1，
∴B（-1，

3

）．
設直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0）．把A（-4，0），B（-1，

3

）代入，得

-4k+b=0 -k+b= 3

，
解得，

k= 3 3 b= 4 3 3

，
∴直線AB的解析式為：y=

3

3

x+

4 3

3

．
∵直線AB′與直線AB關于x軸對稱，
∴直線AB′的解析式為：y=-

3

3

x-

4 3

3

．
綜上所述，滿足條件的直線AB的方程為y=

3

3

x+

4 3

3

或y=-

3

3

x-

4 3

3

；

（3）正方形ABCD的面積存在最大值或最小值．理由如下：
如圖3，在直角△OBD中，OB=2，OD=|m|，則根據勾股定理求得BD²=OB²-OD²=4-m²．
在直角△ABD中，根據勾股定理，得到AB²=AD²+BD²=（4+m）²+4-m²=8m+20．即S=8m+20．
∵-2≤m≤2，
∴4≤S≤36．即當m=2時，S_最大值=36；當m=-2時，S_最小值=4．
綜上所述，S與m的函數關系式是S=8m+20，當m=2時，S_最大值=36；當m=-2時，S_最小值=4．

點評：本題綜合考查了圓的切線的性質，待定系數法求一次函數解析式，正方形面積的求法等知識點．解題時，充分體現了“數學結合”數學思想的優勢，使抽象的問題變得形象化，降低了題的難度與梯度．