Question

如圖，△ABC中，點P是邊AC上的一個動點，過P作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：PE=PF；
（2）當點P在邊AC上運動時，四邊形AECF可能是矩形嗎？說明理由；
（3）若在AC邊上存在點P，使四邊形AECF是正方形，且

AP

BC

=

3

2

．求此時∠BAC的大小．

Answer 1

（1）證明：∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；

（2）當點P運動到AC邊中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：
由（1）可知PE=PF，
∵P是AC中點，
∴AP=PC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵CE、CF分別平分∠BCA、∠ACD，
且∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=

1

2

（∠BCA+∠ACD）=

1

2

×180°=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形；

（3）若四邊形AECF是正方形，則AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BAC=30°．