Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點B（0，4）．

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）在x軸上有一點P，點P在直線AB的垂線段為PC，C為垂足，且PC= ，求點P的坐標；
（3）如圖（2），將原拋物線向左平移，使平移后的拋物線過原點，與原拋物線交于點D，在平移后的拋物線上是否存在點E，使S△APE=S△ACD？若存在，請求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A（﹣4，0），B（0，4），

∴ ，解得： ，

∴所求拋物線的函數解析式是y=﹣ x2﹣x+4

（2）

解：∵A（﹣4，0），B（0，4），

∴OA=OB=4．

∵∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°．

設PC⊥AB，則∠ACP=90°，PC= ．

Rt△ACP中，sin∠PAC= ，

∴PA= =2．

∴OP=OA﹣PA=2或OP=OA+AP=6．

∴點P的坐標為：P1（﹣2，0），P2（﹣6，0）

（3）

解：∵拋物線y=﹣ x2﹣x+4向左平移后過原點，

∴平移后的拋物線的函數解析式為y=﹣ x2﹣3x．

由﹣ x2﹣x+4=﹣ x2﹣3x．

解得 x=﹣2．

∴y=﹣ ×（﹣2）2﹣3×（﹣2）=4．

∴點D的坐標為（﹣2，4）．

如圖2，①當點P在AO上時，設P1C1⊥AB，過C1作C1N⊥x軸，垂足為N，

在Rt△AC1P1中，∵∠C1AP1=45°，AP1=2，

∴AC1=P1C1= ．

∴AN=NC1=1．

∴點C1的坐標為（﹣3，1）．

∴ = ﹣ ﹣ = ×2×4﹣ ×2×1﹣ ×4×1=4﹣1﹣2=1．

②當點P在OA延長線上時，同理可得點C2的坐標為（﹣5，﹣1）． =1，

設點E（a，b），當S△APE=S△ACD時，有 ×2×|b|=1．即|﹣ a2﹣3a|=1．

∴﹣ a2﹣3a=1或﹣ a2﹣3a=﹣1．

∴a1=﹣3+ ，a2=﹣3﹣ ，a3=﹣3+ ，a4=﹣3﹣ ．

∴存在點E，使S△APE=S△ACD，點E的坐標為：（﹣3+ ，1）或（﹣3﹣ ，﹣1）或（﹣3+ ，﹣1）或（﹣3﹣ ，﹣1）

【解析】（1）由A、B兩點的坐標可求得解析式；（2）由OA=OB=4知∠OAB=∠OBA=45°，根據sin∠PAC= 、PC= 可得PA的長，從而由OP=OA﹣PA或OP=OA+AP得出答案；（3）由平移后的拋物線y=﹣ x2﹣3x得出D（﹣2，4），分點P在AO上和點P在OA延長線上利用割補法求得△ACD的面積為1，設點E（a，b），根據S△APE=S△ACD得 ×2×|b|=1．即|﹣ a2﹣3a|=1，解方程即可得出答案．