Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從A出發沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動．點P、Q分別從起點同時出發，移動到某一位置時所需時間為t秒．

（1）當t=2時，求線段PQ的長度；

（2）當t為何值時，△PCQ的面積等于5cm2？

（3）在P、Q運動過程中，在某一時刻，若將△PQC翻折，得到△EPQ，如圖2，PE與AB能否垂直？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）厘米；（2）當t=1秒時，△PCQ的面積等于5cm2；（3）當t=時，PE⊥AB．

【解析】

試題分析：（1）當t=2時，可求出CP，CQ的長，根據勾股定理即可求出線段即斜邊PQ的長；

（2）由三角形面積公式可建立關于t的方程，解方程求出t的值即可；

（3）延長QE交AC于點D，若PE⊥AB，則QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出DE=0.5t，易證△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性質可得，把已知數據代入即可求出t的值．

解：（1）當t=2時，

∵點P從A出發沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動，

∴AP=2厘米，QC=4厘米，

∴PC=4，在Rt△PQC中PQ==厘米；

（2）∵點P從A出發沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動，

∴PC=AC﹣AP=6﹣t，CQ=2t，

∴S△CPQ=CPCQ=，

∴t2﹣6t+5=0

解得t1=1，t2=5（不合題意，舍去）

∴當t=1秒時，△PCQ的面積等于5cm2；

（3）能垂直，理由如下：

延長QE交AC于點D，

∵將△PQC翻折，得到△EPQ，

∴△QCP≌△QEP，

∴∠C=∠QEP=90°，

若PE⊥AB，則QD∥AB，

∴△CQD∽△CBA，

∴，

∴，

∴QD=2.5t，

∵QC=QE=2t

∴DE=0.5t

易證△ABC∽△DPE，

∴

∴，

解得：t=（0≤t≤4），

綜上可知：當t=時，PE⊥AB．