Question

路在山腹行是滬蓉西高速公路的顯著特點之一，全線共有隧道37座，共計長達742421.2米．下圖是正在修建的廟埡隧道的截面，截面是由一拋物線和一矩形構成，其行車道CD總寬度為8米，隧道為單行線2車道．
（1）建立恰當的平面直角坐標系，并求出隧道拱拋物線的解析式；
（2）在隧道拱的兩側距地面3米高處各安裝一盞路燈，在（1）的平面直角坐標系中用坐標表示其中一盞路燈的位置；
（3）為了保證行車安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道拱在豎直方向上高度之差至少有0.5米．現有一輛汽車，裝載貨物后，其寬度為4米，車載貨物的頂部與路面的距離為2.5米，該車能否通過這個隧道？請說明理由．

Answer 1

分析：本題是拋物線的問題，建立適當坐標系，把有關數據轉化為相應點的坐標，選擇合適的拋物線解析式，是解本題的關鍵．難點是（3）對能否通過的理解．

解答：解：（1）如圖，若以EF所在直線為x軸，經過H且垂直于EF的直線為y軸，建立平面直角坐標系，
則E（-5，0），F（5，0），H（0，3）
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c
依題意有：

25a+5b+c=0 25a-5b+c=0 c=3

．
解之

a=- 3 25 b=0 c=3

所以y=-

3

25

x²+3

（2）y=1，路燈的位置為（

5

3

6

，1）或（-

5

3

6

，1）．（只要寫一個即可）

（3）當x=4時，y=-

3

25

×4²+3=1.08，點到地面的距離為1.08+2=3.08
因為3.08-0.5=2.58＞2.5，所以能通過．

點評：由于拋物線在坐標系里這種特殊位置，還可以選擇拋物線解析式的其他形式：
（1）對稱軸是y軸，可以直接設y=ax²+c（缺一次項）；
（2）已知頂點，可以設拋物線頂點式；
（3）已知拋物線與x軸的兩個交點，可以設拋物線交點式．