Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=10cm，BC=15cm，點P從A出發沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動，點P，Q分另從起點同時出發，移動到某一位置時所需時間為t秒．
（1）當t=4時，求線段PQ的長度；
（2）當t為何值時，△PQC的面積等于16cm²？
（3）點O為AB的中點，連接OC，能否使得PQ⊥OC？若能，求出t值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于點P從A出發沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動，點Q從C出發沿CB向B點以2厘米/秒，而t=4，由此可以用t表示AP、PC、CQ的長度，然后利用勾股定理即可求出PQ的長度；
（2）首先用t分別表示CP，CQ的長度，然后利用三角形的面積公式即可列出關于t的方程，解方程即可解決問題；
（3）能夠使得PQ⊥OC，利用直角三角形的斜邊中點的性質可以證明△ABC和△PCQ相似，然后利用相似三角形的性質列出關于t的方程，解方程即可求出t的值．

解答：解：（1）當t=4時，
∵點P從A出發沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動，點Q從C出發沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動，
∴AP=4cm，PC=AC-AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ=

PC2+CQ2

=10cm；

（2）∵AP=t，PC=AC-AP=10-t、CQ=2t，
∴S_△PQC=

1

2

PC×CQ=t（10-t）=16，
∴t₁=2，t₂=8，
當t=8時，CQ=2t=16＞15，∴舍去，
∴當t=2時，△PQC的面積等于16cm²；

（3）能夠使得PQ⊥OC，如圖所示：
∵點O為AB的中點，∠ACB=90°，
∴OA=OB=OC（直角三角形斜邊上中線定理），
∴∠A=∠OCA，
而∠OCA+∠QPC=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠QPC，又∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△ABC∽△QPC，
∴

CP

CB

=

CQ

CA

，
∴

10-t

15

=

2t

10

，
∴t=2.5s．
∴當t=2.5s時，PQ⊥OC．

點評：此題比較難，內容比較多，也是一個動點問題，考查了勾股定理、三角形的面積公式、相似三角形的性質與判定等知識，綜合性很強，對于學生的能力要求比較高．