Question

【題目】如圖1，ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且 點G在□ABCD內部．將BG延長交DC于點F．

（1）猜想并填空：GF　 　DF（填“＞”、“＜”、“=”）；

（2）請證明你的猜想；

（3）如圖2，當∠A=90°，設BG=a，GF=b，EG=c，證明：c2=ab．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）GF=DF，

故答案為：=；

（2）理由是：

連接DG，

由折疊得：AE=EG，∠A=∠BGE，

∵E在AD的中點，

∴AE=ED，

∴ED=EG，

∵∠EGD=∠EDG，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°，

∵∠BGE+∠EGF=180°，

∴∠EDF=∠EGF，

∴∠EDF﹣∠EDG=∠EGF﹣∠EGD，

即∠GDF=∠DGF，

∴GF=DF；

（3）證明：如題圖2，由（2）得：DF=GF=b，

由圖可得：BF=BG+GF=a+b，

由折疊可得：AB=BG=a，AE=EG=c，

在平行四邊形ABCD中，

BC=AD=2AE=2c，CD=AB=a，

∴CF=CD﹣DF=a﹣b，

∵∠A=90°，

∴□ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

在Rt△BCF中，由勾股定理得，

BC2+CF2=BF2，

∴（2c）2+（a﹣b）2=（a+b）2，

整理得：c2=ab．