Question

【題目】如圖，矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，B點的坐標為(1，3)．矩形O'A'BC'是矩形OABC繞B點逆時針旋轉得到的．O'點恰好在x軸的正半軸上， O'C'交AB于點D.

(1)求點O'的坐標，并判斷△O'DB的形狀（要說明理由）

(2)求邊C'O'所在直線的解析式．

(3)延長BA到M使AM=1，在(2)中求得的直線上是否存在點P，使得ΔPOM是以線段OM為直角邊的直角三角形?若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)點O'的坐標(2，0)，△O'DB為等腰三角形，理由略見解析；(2)邊C'O'所在直線的解析式： ； (3)P(2,0)，

【解析】

（1）連接OB，O′B，根據旋轉的性質可得OB=O′B，再根據矩形的性質BA⊥OA，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AO=AO′，然后根據點B的坐標求出AO的長度，再得到AO′的長度，點O′的坐標即可得到；利用角角邊證明△BC′D與△O′AD全等，然后根據全等三角形對應邊相等得到BD=O′D，所以△O′DB是等腰三角形；

（2）設點D的坐標是（1，a），表示出O′D的長度，然后利用勾股定理列式求出a的值，從而得到點D的坐標，再根據待定系數法列式即可求出直線C′O′的解析式；

（3）根據AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角邊，∠PMA=45°，②PO是另一直角邊，∠POA=45°兩種情況列式進行計算即可得解．

解：（1）如圖，連接OB，O′B，則OB=O′B，

∵四邊形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B點的坐標為（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴點O′的坐標是（2，0），
△O′DB為等腰三角形，
理由如下：在△BC′D與△O′AD中，

∴△BC′D≌△O′AD（AAS），
∴BD=O′D，
∴△O′DB是等腰三角形；

（2）設點D的坐標為（1，a），則AD=a，
∵點B的坐標是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，
∴a2+12=（3-a）2，
解得

∴點D的坐標為

設直線C′O′的解析式為y=kx+b，
則解得

∴邊C′O′所在直線的解析式：

（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角邊時，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，點P與點O′重合，
∴點P的坐標是（2，0），
②PO是另一直角邊，∠POA=45°，則PO所在的直線為y=x，
∴

解得

∴點P的坐標為P（2，0）或