Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E．
（1）求證：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度數；
（3）若AE=6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，

∴DB=DA，

∴△ABD是等腰三角形；

（2）解：∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，

∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°；

（3）解：∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，AE=6，

∴AB=2AE=12，

∵△CBD的周長為20，

∴AC+BC=20，

∴△ABC的周長=AB+AC+BC=12+20=32．

【解析】（1）根據線段的垂直平分線到線段兩端點的距離相等即可得證；（2）首先利用三角形內角和求得∠ABC的度數，然后減去∠ABD的度數即可得到答案；（3）將△ABC的周長轉化為AB+AC+BC的長即可求得．
【考點精析】認真審題，首先需要了解線段垂直平分線的性質(垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等)．