Question

某超市銷售一種成本為40元/kg的商品．市場調查發現：按50元/kg銷售，一個月能售出500kg；銷售單價每漲0.5元，月銷售量就減少5kg．設該商品的銷售單價為x元，月銷售量為y kg．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）市場調查發現，月銷售量y的范圍是不低于350千克，在保本的基礎上，求此時的銷售單價為x的范圍；
（3）求此超市在（2）的前提下銷售它，那么超市為此可以獲得的最大月銷售利潤P是多少？

Answer 1

解：（1）由題意得：y=500-5×=-10x+1000，
故y與x之間的函數關系式為：y=-10x+1000；

（2）由題意得：y=-10x+1000≥350，
解得：x≤65，
故x的范圍是：40≤x≤65；

（3）設月銷售利潤為W，
根據題意列出解析式；W=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x²+1400x-40000=-10（x-70）²+9000，
對稱軸為x=70，
又∵a＜0，40≤x≤65在對稱軸左側，w隨x增大而增大，
∴當x=65時，W_最大=（65-40）（-10×65+1000）=8750，
答：超市為此可以獲得的最大月銷售利潤P是8750元．
分析：（1）根據題意一個月能售出500kg，若銷售單價每漲0.5元，每月銷量就減少5kg，可得y=500-5×．
（2）用配方法化簡（1）的解析式，可得8000=-10（x-70）²+9000，求出x的實際取值；
（3）先利用二次函數的性質得到w=-10（x-70）²+9000的對稱軸為x=70，而（2）求得范圍40≤x≤65，根據二次函數的性質得到當40≤x≤65時，W隨x的增大而增大，把x=65代入計算即可得到最大月銷售利潤．
點評：本題考查了二次函數的應用：根據實際問題列出二次函數關系式，然后利用二次函數的性質，特別是二次函數的最值問題解決實際中的最大或最小值問題．