Question

【題目】如圖，將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點A、B分別落在反比例函數y= 圖象的兩支上，且PB⊥x于點C，PA⊥y于點D，AB分別與x軸，y軸相交于點E、F．已知B（1，3）．

（1）k=；
（2）試說明AE=BF；
（3）當四邊形ABCD的面積為 時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）

解：反比例函數解析式為y= ，

設A點坐標為（a， ），

∵PB⊥x于點C，PA⊥y于點D，

∴D點坐標為（0， ），P點坐標為（1， ），C點坐標為（1，0），

∴PB=3﹣ ，PC=﹣ ，PA=1﹣a，PD=1，

∴ = = ， = ，

∴ = ，

而∠CPD=∠BPA，

∴△PCD∽△PBA，

∴∠PCD=∠PBA，

∴CD∥BA，

而BC∥DF，AD∥EC，

∴四邊形BCDF、ADCE都是平行四邊形，

∴BF=CD，AE=CD，

∴BF=AE，

（3）

解：∵四邊形ABCD的面積=S△PAB﹣S△PCD，

∴ （3﹣ ）（1﹣a）﹣ 1（﹣ ）= ，

整理得a+ =0，解得a=﹣ ，

∴P點坐標為（1，﹣2）．

【解析】解：（1）把B（1，3）代入y= 得k=1×3=3；
故答案為：3；
（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得k=3；（2）設A點坐標為（a， ），易得D點坐標為（0， ），P點坐標為（1， ），C點坐標為（1，0），根據圖形與坐標的關系得到PB=3﹣ ，PC=﹣ ，PA=1﹣a，PD=1，則可計算出 = = ，加上∠CPD=∠BPA，根據相似的判定得到△PCD∽△PBA，則∠PCD=∠PBA，于是判斷CD∥BA，根據平行四邊形的判定方法易得四邊形BCDF、ADCE都是平行四邊形，所以BF=CD，AE=CD，則BF=AE，于是有AE=BF；（3）利用四邊形ABCD的面積=S△PAB﹣S△PCD ， 和三角形面積公式得到 （3﹣ ）（1﹣a）﹣ 1（﹣ ）= ，整理得a+ =0，然后解方程求出a的值，再寫出P點坐標．