Question

已知，點P是正方形ABCD內的一點，連PA、PB、PC．
（1）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置（如圖1）．
①設AB的長為a，PB的長為b（b＜a），求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖1中陰影部分）的面積；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長；
（2）如圖2，若PA²+PC²=2PB²，請說明點P必在對角線AC上．

Answer 1

分析：（1）△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖1中陰影部分）的面積實際是大扇形OAC與小扇形BPP′的面積差，且這兩個扇形的圓心角同為90度；
（2）連接PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；
（3）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．

解答：解：（1）①S_陰影=S_扇形ABC+S_△BP′C-S_扇形PBP′-S_△ABP
=S_扇形ABC-S_扇形PBP′
=

90π(a2-b2)

360

，
=

π

4

（a²-b²）；

②連接PP′，
根據旋轉的性質可知：
BP=BP′，∠PBP′=90°；
即：△PBP′為等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，
∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，
∴∠BPA+∠BPP′=180°，
即A、P、P′共線，
∴∠PP′C=135°-45°=90°；
在Rt△PP′C中，PP′=4

2

，P′C=PA=2，根據勾股定理可得PC=6．

（2）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，連接PP′．
同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．

點評：本題是一道綜合性很強的題，不但考查了扇形的面積公式，還綜合了旋轉及三角形、正方形等相關知識，難度較大．