Question

有一個(gè)測(cè)量彈跳力的體育器材，如圖所示，豎桿AC、BD的長(zhǎng)度分別為200厘米、300厘米，CD=300厘米．現(xiàn)有一人站在斜桿AB下方的點(diǎn)E處，直立、單手上舉時(shí)中指指尖（點(diǎn)F）到地面的高度為EF，屈膝盡力跳起時(shí)，中指指尖剛好觸到斜桿AB上的點(diǎn)G處，此時(shí)，就將EG與EF的差值y（厘米）作為此人此次的彈跳成績(jī)．設(shè)CE=x（厘米），EF=a（厘米）．
（1）問(wèn)點(diǎn)G比點(diǎn)A高出多少厘米？（用含y，a的式子表示）
（2）求出由x和a算出y的計(jì)算公式；
（3）現(xiàn)有甲、乙兩組同學(xué)，每組三人，每人各選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢帽M力跳了一次，且均剛好觸到斜桿，由所得公式算得兩組同學(xué)彈跳成績(jī)?nèi)缦掠冶硭�示，由于某種原因，甲組C同學(xué)的彈跳成績(jī)辨認(rèn)不清，但知他彈跳時(shí)的位置為x=150厘米，且a=205厘米，請(qǐng)你計(jì)算C同學(xué)此次的彈跳成績(jī)，并從兩組同學(xué)彈跳成績(jī)的整齊程度比較甲、乙兩組同學(xué)的彈跳成績(jī)．

	甲組			乙組
	A同學(xué)	B同學(xué)	C同學(xué)	a同學(xué)	b同學(xué)	C同學(xué)
彈跳成績(jī)（厘米）	36	39		42	44	34

（方差計(jì)算公式：S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，其中

.

x

表示x₁、x₂、…、x_n的平均數(shù)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，構(gòu)造直角△ABM與△AGN，解可得GN的長(zhǎng)，即G比點(diǎn)A高出的距離；
（2）結(jié)合圖形，得出△ANG∽△AMB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得到y(tǒng)的計(jì)算公式；
（3）分別計(jì)算甲乙兩人的方差，并比較其大小；根據(jù)方差的意義，可得出結(jié)論．

解答：解：（1）過(guò)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，交GE于N，
∵AC⊥CD，GE⊥CD，
∴四邊形ACEN為矩形．
∴NE=AC．
又∵AC=200，EF=a，F(xiàn)G=y，
∴GN=GE-NE=a+y-200．
即點(diǎn)G比點(diǎn)A高出（a+y-200）厘米．

（2）∵DM=AC=200，
∴BM=BD-DM=300-200=100．
∵GN∥BM，
∴△ANG∽△AMB．AM=CD=300，
∴

AN

AM

=

GN

BM

，即

x

300

=

a+y-200

100

．
∴y=

1

3

x-a+200．

（3）當(dāng)x=150cm，a=205cm時(shí)，y=

1

3

×150-205+200=45（cm）．
即甲組C同學(xué)的彈跳成績(jī)?yōu)?5cm．
∵

.

x

_甲=

1

3

（36+39+45）=40，

.

x乙

=

1

3

（42+44+34）=40，
∴S_甲²=

1

3

[（36-40）²+（39-40）²+（45-40）²]=14，
S_乙²=

1

3

[（42-40）²+（44-40）²+（34-40）²]=

56

3

．
∴S_甲²＜S_乙²，即甲組同學(xué)的彈跳成績(jī)更整齊．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方差的計(jì)算方法及意義．一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x₁，x₂，…xn的平均數(shù)為

.

x

，則差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立．