Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是AD的中點，連接BE、CE，點F是CE的中點，連接DF、

BF，點M是BF上一點且=，過點M作MN⊥BC于點N，連接FN，則= ．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：根據正方形的性質得到∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．設AE=a，則DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．根據勾股定理得到BE=a，CE=a，得到BE=CE，過點F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．根據FG∥CD，點F是CE的中點，得到EG=DG=DE=a，GF=CD=a．根據三角函數的定義得到∠AEB=∠GDF，由平行線的性質得到∠BEF=∠DFE，推出△EFG≌△CFH，根據全等三角形的性質得到FG=FH=a，EG=CH=a．推出四邊形CDGH是矩形，根據矩形的性質得到CH=DG=a，根據平行線分線段成比例定理得到==，于是得到MN=FH=a，BN=BH=a，求得S△FMN==a×a=a2，S四邊形FEBN=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△CDE﹣S△CNF=4a2﹣2aa﹣﹣=a2．即可得到結論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．

設AE=a，則DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．

在△ABE中，由勾股定理，得BE=a，

在△CDE中，由勾股定理，得CE=a，

∴BE=CE，

過點F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．

∵AD∥BC，FG⊥AD，∴GH⊥BC．

∵FG∥CD，點F是CE的中點，

∴EG=DG=DE=a，GF=CD=a．

在直角△ABE中，∵tan∠AEB===2，

在直角△GFD中，∵tan∠GDF===2，

∴tan∠AEB=tan∠GDF，

∵0°＜∠AEB＜90°，0°＜∠GDF＜90°，

∴∠AEB=∠GDF，

∴BE∥DF，

∴∠BEF=∠DFE，

在△EFG與△CFH中，，

∴△EFG≌△CFH，

∴FG=FH=a，EG=CH=a．

∵GH∥CD，GD∥HC，∠CDA=90°，

∴四邊形CDGH是矩形，

∴CH=DG=a，

∴BH=BC﹣CH=a．

∵MN⊥BC，GH⊥BC，

∴MN∥FH，

∴==，

∴MN=FH=a，BN=BH=a，

∴MN=AB，

∵BN=CH=a，

∴NH=BC﹣BN﹣CH=a，

∴S△FMN==a×a=a2，

S四邊形FEBN=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△CDE﹣S△CNF=4a2﹣2aa﹣﹣=a2．

∴==．

故答案為：．