Question

【題目】如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，交矩形的對角線BD于點E，點F是BC的中點，連接EF．

（1）試判斷EF與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若DC=2，EF=，點P是⊙O上不與E、C重合的任意一點，則∠EPC的度數為 （直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）EF與⊙O相切，證明見解析；（2）600或1200

【解析】（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OE、OF．通過△EFO≌△CFO（SAS），證得∠FEO=∠FCO=90°，則直線EF與⊙O相切．
（2）根據圓內接四邊形的性質得到∠EPC+∠D=180°，利用（1）中的全等三角形的對應邊相等求得FC=EF=，所以通過解直角△BCD來求∠D的度數即可．

解：（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OE、OF．

∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵點F是BC的中點，點O是DC的中點，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
∴在△EFO與△CFO中，

OE=OC，∠2=∠3，OF=OF，

∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直線EF與⊙O相切．

（2）如圖，連接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=．
∴BC=2
在直角△FDC中，tan∠D==，
∴∠D=60°．

當點P在上時，
∵點E、P、C、D四點共圓，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°．
當點P在 上時，

∠EPC=∠D=60°，

故填：60°或120°．
“點睛”本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．