Question

如圖①，△ABC中，DC，BD分別是∠ACB和∠ABC的平分線，且∠A=α
（1）用含α的代數識別是∠CDB；
（2）若把圖①中∠ACB的平分線DC改為∠ACB的外角的平分線（如圖②），怎樣用含α的代數式別是∠CDB．
（3）若把圖①中“DC，DB分別是∠ACB和∠ABC的平分線”改成“DC，BD分別是∠ACB和∠ABC的外角的平分線”，（如圖③），怎樣用含α的代數式別是∠CDB．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的內角和定理，及角平分線定義；
（2）利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和求解；
（3）利用三角形的內角和定理，及角平分線定義，鄰補角定義．

解答：解：（1）∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵DC，BD分別是∠ACB和∠ABC的平分線，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

×（∠ABC+∠ACB）=90°-α，
∴∠CDB=180°-（∠DBC+∠DCB）=90°+

α

2

；

（2）設BC的延長線上有一點E．
∵∠DCE是△BCD的一個外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC，
同理：∠A=∠ACE-∠ABC，
∵CD和BD分別為角平分線，
∴∠DCE=

1

2

∠ACE，∠DBC=

1

2

∠ABC，
∴∠CDB=

α

2

；

（3）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵DC，BD分別是∠ACB和∠ABC的外角的平分線，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

×[360°-（∠ABC+∠ACB）]=90°+

α

2

，
∴∠CDB=CDB=180°-（∠DBC+∠DCB）=90°-

α

2

．

點評：本題需注意綜合利用三角形的內角和定理，及角平分線定義，利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，鄰補角定義等知識點．