Question

如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）；
（1）求拋物線的對稱軸及k的值；
（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得|PB-PC|的值最大？若存在，求出點P的坐標；
（3）如果點M是拋物線在第三象限的一動點；當M點運動到何處時，M點到AC的距離最大？求出此時的最大距離及M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線解析式寫出對稱軸解析式即可，把點C的坐標代入拋物線解析式計算即可求出k值；
（2）令y=0，解關于x的一元二次方程得到點A、B的坐標，再根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點P、C、B在同一直線上時，|PB-PC|的值最大，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求解即可；
（3）先求出直線AC的解析式，再根據平行線間的距離相等，過點M的直線與直線AC平行且與拋物線只有一個交點時距離最大，然后聯立拋物線與直線解析式，根據△=0列式求出過點M的直線，即可得到點M的坐標，再求出直線與x軸的交點，然后利用直線與x軸的夾角為45°，利用正弦值列式計算即可求出最大距離．

解答：解：（1）拋物線y=（x+1）²+k的對稱軸為直線x=-1，
把點C（0，-3）代入拋物線得，（0+1）²+k=-3，
解得k=-4；

（2）令y=0，則（x+1）²-4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴點A（-3，0），B（1，0），
由三角形的三邊性質，|PB-PC|＜BC，
∴當點P、C、B在同一直線上時，|PB-PC|的值最大，
此時，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=0 b=-3

，
解得

k=3 b=-3

，
∴直線BC的解析式為y=3x-3，
當x=-1時，y=3×（-1）-3=-6，
∴拋物線對稱軸上存在點P（-1，-6），使得|PB-PC|的值最大；

（3）設直線AC的解析式為y=mx+n（m≠0），
則

-3m+n=0 n=-3

，
解得

m=-1 n=-3

，
∴直線AC的解析式為y=-x-3，
過點M的直線與直線AC平行且與拋物線只有一個交點時距離最大，
此時，過點M的直線解析式設為y=-x+b，
聯立

y=(x+1)2-4 y=-x+b

，
消掉y得，x²+3x-3-b=0，
△=3²-4×1×（-3-b）=0，
解得b=-

21

4

，
過點M的直線解析式為，y=-x-

21

4

，
此時，x₁=x₂=-

3

2

，
y₁=y₂=-

15

4

，
∴點M的坐標為（-

3

2

，-

15

4

），
設過點M的直線與x軸的交點為D，
則由-x-

21

4

=0，得x=-

21

4

，
∴AD=-3-（-

21

4

）=

9

4

，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
∵MD∥AC，
∴∠ODM=∠OAC=45°，
∴直線MD與AC之間的距離=

9

4

×

2

2

=

9 2

8

，
即M點到AC的距離最大值為

9 2

8

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數頂點式與對稱軸，待定系數法求二次函數解析式，三角形的三邊關系的利用，利用平行線間的距離確定點到直線的距離的最大值的方法，（2）判斷出點P是直線BC與對稱軸的交點是解題的關鍵，（3）確定出點M的位置與所在的直線是解題的關鍵．