Question

拓廣探索
七年某班師生為了解決“2²⁰¹²個位上的數字是

6

．”這個問題，通過觀察、分析、猜想、驗證、歸納等活動，從而使問題得以解決，體現了從特殊到一般的數學思想方法．師生共同探索如下：
（1）認真填空，仔細觀察．
因為2¹=2，所以2¹個位上的數字是2；
因為2²=4，所以2²個位上的數字是4；
因為2³=8，所以2³個位上的數字是8；
因為2⁴=

16

，所以2⁴個位上的數字是

6

；
因為2⁵=

32

，所以2⁵個位上的數字是

2

；
因為2⁶=

64

，所以2⁶個位上的數字是

4

；
（2）①小明是個愛動腦筋的學生，他利用上述方法繼續探索，馬上發現了規律，于是猜想：2¹⁰個位上的數字是4，你認為對嗎？試通過計算加以驗證．
②同學們，你們發現的規律與小明一樣嗎？不妨把你們發現的規律寫出來：

尾數每4個一循環分別為：2，4，8，6

．
（3）利用上述得到的規律，可知：2²⁰¹²個位上的數字是

6

．
（4）利用上述研究數學問題的思想與方法，試求：3²⁰¹³個位上的數字是

3

．

Answer 1

分析：（1）根據指數運算法則直接求出各數即可；
（2）①直接計算得出2¹⁰個位上的數字是4；
②利用（1）中所求得出尾數每4個一循環分別為：2，4，8，6；
（3）利用（2）中的規律得出答案；
（4）利用（2）中規律得出3的指數變化與尾數的關系．

解答：解：（1）因為2¹=2，所以2¹個位上的數字是2；
因為2²=4，所以2²個位上的數字是4；
因為2³=8，所以2³個位上的數字是8；
因為2⁴=16，所以2⁴個位上的數字是6；
因為2⁵=32，所以2⁵個位上的數字是2；
因為2⁶=64，所以2⁶個位上的數字是4；
故答案為：16，6；    32，2；   64，4；

（2）①正確，
理由：由（1）可得出：尾數每4個一循環，10÷4=2…2，
則2¹⁰個位上的數字與第2個數據相等是4；
②尾數每4個一循環分別為：2，4，8，6．

（3）∵2012÷4=503，
∴2²⁰¹²個位上的數字與第4個尾數相等，則是6；
故答案為：6；

（4）因為3¹=3，所以3¹個位上的數字是3；
因為3²=9，所以3²個位上的數字是9；
因為3³=27，所以3³個位上的數字是7；
因為3⁴=81，所以3⁴個位上的數字是1；
因為3⁵=243，所以3⁵個位上的數字是3；
…
∴尾數每4個一循環，
∵2013÷4=503…1，
∴3²⁰¹³個位上的數字是3．
故答案為：3．

點評：此題主要考查了數字尾數特征，根據指數的變化得出位置的變化規律是解題關鍵．