Question

【題目】數學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：

如圖①，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合，三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．

（1）求證：AP=CQ；

（2）如圖②，小明在圖①的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發現PE和QE存在一定的數量關系，請猜測他的結論并證明．

（3）如圖③，固定三角板直角頂點在D點不動，轉動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點P，另一邊交BC的延長線于點Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC的延長線于點E，連接PE，若AB：AP=3：4，請幫小明算出△ DEQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PE=QE，證明見解析；（3）

【解析】分析：(1)用ASA證明△ADP≌△CDQ；(2)用SAS證明△DEP≌△DEQ；(3)設QE＝PE＝x，則BE＝14－x，在Rt△BPE中，由勾股定理求QE，得S△DEQ，又△DEP≌△DEQ，則可求解.

詳解：(1)證明：∵∠ADC＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．

在△ADP與△CDQ中，∠DAP＝∠DCQ＝90°，AD＝CD，∠ADP＝∠CDQ，

∴△ADP≌△CDQ(ASA)，∴AP＝CQ．

(2)PE＝QE．

證明：由(1)可知△ADP≌△CDQ，∴DP＝DQ．

∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE＝∠QDE.

在△DEP與△DEQ中，DP＝DQ，∠PDE＝∠QDE，DE＝DE.

∴△DEP≌△DEQ(SAS)∴PE＝QE．

(3)解：∵AB：AP＝3：4，AB＝6，∴AP＝8，BP＝2．

與(1)同理，可以證明△ADP≌△CDQ，∴CQ＝AP＝8．

與(2)同理，可以證明△DEP≌△DEQ，∴PE＝QE．

設QE＝PE＝x，則BE＝BC＋CQ－QE＝14－x．

在Rt△BPE中，由勾股定理得：

解得：x＝，即QE＝．

∴S△DEQ＝QECD＝××6＝．

∵△DEP≌△DEQ，

∴S△DEP＝S△DEQ＝．