Question

【題目】四邊形ABCD內接于⊙O，AC為其中一條對角線，且S△ABC：S△ADC=AB：AD．

（1）如圖1，求證：BC=CD；

（2）如圖2：連接OC，交對角線BD于點E，若∠BAD=60°，求證：OE=EC；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DF⊥AC于點F，連接FO并延長FO，交AB邊于點G，若FG⊥AB，OC=，求△OFC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）首先利用已知得出CL=CK，再結合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），進而得出答案；

（2）首先得出△OBC是等邊三角形，進而得出答案；

（3）利用已知首先得出△AMD是等邊三角形，進而得出BG，EF的長，再利用S△OEF=OFEF進而得出答案．

（1）證明：過C作CK⊥AB于點K，過C作CL⊥AD于點L，

∴S△ABC=ABCK，S△ADC=ADCL，

∵S△ABC：S△ADC=AB：AD．

∴CL=CK，

∵∠B+∠ADC=180°，∠CDL+∠ADC=180°，

∴∠B=∠CDL，

∵∠CKB=∠L=90°，

在△CKB和△CLD中

，

∴△CKB≌△CLD（AAS），

∴BC=CD．

（2）證明：如圖2，連接OB、OD，

∵BC=CD，

∴∠BOC=∠DOC

∵OB=OD，

∴OE⊥BD，

∵∠BAD=60°，

∴∠BOC=∠DOC=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC，

∴OE=EC；

（3）如圖3，延長DF交AB于點M，連接OB，

∵∠BAD=60°，

∴∠BAC=∠CAD=30°，

∵AF⊥DF，

∴∠AFM=∠AFD=90°，

∴∠AMD=∠ADM=60°，

∴△AMD是等邊三角形，

設MG=a，則MF=2a，AM=AD=MD=4a，GF=a，

∴AG=BG=3a，∴BM=2a

∵E、F分別是BD、MD中點，∴EF=a，EF∥AB

過B作BN⊥MD，則MN=a，BN=a，∴DN=5a，

∵BD=OC，

∴BD=3

在Rt△BND中，（a）2+（5a）2=/span>（3）2

解得a=，

∴BG=，EF=，

在Rt△OGB中，OG=，

∴OF=，

∵EF∥AB，

∴∠EFO=∠AGF=90°

∴S△OEF=OFEF=××=

∵OE=EC，

∴S△OFC=2S△OEF=．