Question

【題目】如圖，已知a∥b，長方形ABCD的點A在直線a上，B，C，D三點在平面上移動變化（長方形形狀大小始終保持不變），請根據如下條件解答：

（1）圖1，若點B、D在直線b上，點C在直線b的下方，∠2=30°，則∠1=；
（2）圖2，若點D在直線a的上方，點C在平行直線a，b內，點B在直線b的下方，m，n表示角的度數，請寫出m與n的數量關系并說明理由；
（3）圖3，若點D在平行直線a，b內，點B，C在直線b的下方，x，y表示角的度數（x＞y），且滿足關系式x2﹣2xy+y2=100，求x的度數．

Answer 1

【答案】
（1）60°
（2）解：如圖2，過C作EF∥a，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴n=∠4，
∵a∥b，EF∥a，
∴EF∥a∥b，
∴∠4=∠DCE ,∠ECB=m;
∴∠4+m=∠BCD=90°，
∴m+n=90°；
（3）解：如圖3，過D作c∥b，

∵x2﹣2xy+y2=100，
∴（x﹣y）2=100，
∵x＞y，
∴x﹣y=﹣10（舍去），
∴x﹣y=10，①
∵a∥b，c∥b，
∴a∥b∥c，
∵∠ADC=90°，
∴x+y=90，②
①+②得：x=50°．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是長方形，
∴∠ADC=90°，
∵∠2=30°，
∴∠ADB=60°，
∵a∥b，
∴∠1=∠ADB=60°，
故答案為：60°；
(1）根據矩形的四個角都是直角得出∠ADC=90°，根據角的和差得出∠ADB=60°，根據二直線平行內錯角相等得出∠1=∠ADB=60°；
（2）過C作EF∥a，根據矩形的對邊互相平行得出AB∥CD，根據二直線平行同位角相等得出n=∠4，根據平行于同一直線的兩條直線互相平行得出EF∥a∥b，根據二直線平行，內錯角相等得出∠4=∠DCE ,∠ECB=m;根據等式的性質得出結論；
（3）將方程x2﹣2xy+y2=100，利用直接開平方法得出x﹣y=10，①，根據平行于同一直線的兩條直線互相平行得出a∥b∥c，根據二直線平行，內錯角相等，及等式的性質得出結論。