Question

【題目】菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON繞點O旋轉，射線OM交邊BC于點E，射線ON交邊DC于點F，連接EF．

（1）如圖1，當∠ABC=90°時，△OEF的形狀是　　；

（2）如圖2，當∠ABC=60°時，請判斷△OEF的形狀，并說明理由；

（3）在（1）的條件下，將∠MON的頂點移到AO的中點O′處，∠MO′N繞點O′旋轉，仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°，射線O′M交直線BC于點E，射線O′N交直線CD于點F，當BC=4，且=時，直接寫出線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）△OEF是等腰直角三角形（2）△OEF是等邊三角形（3）線段CE的長為3+3或3﹣3

【解析】試題分析：（1）先求得四邊形ABCD是正方形，然后根據正方形的性質可得∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC，再根據同角的余角相等可得∠BOE=∠COF，然后利用“角邊角”證明△BOE和△COF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；（2）過O點作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，根據菱形的性質可得CA平分∠BCD，∠ABC+∠BCD=180°，求得OG=OH，∠BCD=180°-60°=120°，從而求得∠GOH=∠EOF=60°，再根據等量減等量可得∠EOG=∠FOH，然后利用“角邊角”證明△EOG和△FOH全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；（3）過O點作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，先求得四邊形O′GCH是正方形，從而求得GC=O′G=3，∠GO′H=90°，然后利用“角邊角”證明△EO′G和△FO′H全等，根據全等三角形對應邊相等即可證得△O′EF是等腰直角三角形，根據已知求得等腰直角三角形的直角邊O′E的長，然后根據勾股定理求得EG，即可求得CE的長．

試題解析：（1）△OEF是等腰直角三角形；

證明：∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，

∴∠BOE+∠COE=90°，

∵∠MON+∠BCD=180°，

∴∠MON=90°，

∴∠COF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE與△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∴△OEF是等腰直角三角形；

故答案為等腰直角三角形；

（2）△OEF是等邊三角形；

證明：如圖，

過O點作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，

∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，

∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，

∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，

∴∠GOH+∠BCD=180°，

∴∠MON+∠BCD=180°，

∴∠GOH=∠EOF=60°，

∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，

∴∠EOG=∠FOH，

在△EOG與△FOH中，

，

∴△EOG≌△FOH（ASA），

∴OE=OF，

∴△OEF是等邊三角形；

（3）證明：如圖：

∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴，

過O點作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，

∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，

∴四邊形O′GCH是矩形，

∴O′G∥AB，O′H∥AD，

∴，

∵AB=BC=CD=AD=4，

∴O′G=O′H=3，

∴四邊形O′GCH是正方形，

∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°

∵∠MO′N+∠BCD=180°，

∴∠EO′F=90°，

∴∠EO′F=∠GO′H=90°，

∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，

∴∠EO′G=∠FO′H，

在△EO′G與△FO′H中，

，

∴△EO′G≌△FO′H（ASA），

∴O′E=O′F，

∴△O′EF是等腰直角三角形；

∵S正方形ABCD=4×4=16， ，

∴S△O′EF=18，

∵S△O′EF=O′E2，

∴O′E=6，

在RT△O′EG中，EG===3，

∴CE=CG+EG=3+3．

根據對稱性可知，當∠M′ON′旋轉到如圖所示位置時，

CE′=E′G﹣CG=3﹣3．

綜上可得，線段CE的長為3+3或3﹣3．