Question

【題目】如圖，點C為線段AB上一點，在△ACM，△CBN中，AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，連接AN交CM于點E，連接BM交CN于點F．

求證：（1）AN=BM．（2）△CEF是等邊三角形

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，進而可由SAS得到△ACN≌△MCB，結論得證；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，進而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形．

試題解析：（1）證明：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF為等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形．