Question

如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．
（2）利用已知條件證得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得線段的長即可．
解答：（1）證明：連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB．
∵∠CBF=∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：過點C作CH⊥BF于H，CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，
∴sin∠2==，cos∠2==，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
∴BF==
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．