Question

在化學(xué)實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為6cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進(jìn)行折疊，并圍成圓錐形．取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長為6cm，開口直徑為6cm．當(dāng)濾紙片重疊部分三層，且每層為圓時(shí)，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼漏斗的內(nèi)壁？請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明．

Answer 1

【答案】分析：此題是圓錐側(cè)面積求解的典型問題，要靈活運(yùn)用公式，并結(jié)合實(shí)際解題．
解答：解：∵表面緊貼的兩圓錐形的側(cè)面展開圖為圓心角相同的兩扇形，
∴表面是否緊貼只需考慮展開圖的圓心角是否相等．
由于濾紙圍成的圓錐形只有最外層側(cè)面緊貼漏斗內(nèi)壁，故只考慮該濾紙圓錐最外層的側(cè)面和漏斗內(nèi)壁圓錐側(cè)面的關(guān)系．
將圓形濾紙片按圖示的步驟折成四層且每層為 圓，
則圍成的圓錐形的側(cè)面積=（1-2×）S_濾紙圓=S_濾紙圓．
∴它的側(cè)面展開圖是半圓，其圓心角為180度，
如將漏斗內(nèi)壁構(gòu)成的圓錐側(cè)面也抽象地展開，展開的扇形弧長為π×6=6π（cm），
該側(cè)面展開圖的圓心角為6π÷6×=180度．
由此可以看出兩圓錐的側(cè)面展開得到的扇形，它們的圓心角相等．
∴該濾紙圍成的圓錐形必能緊貼漏斗內(nèi)壁．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，將幾何圖形做適當(dāng)變形，找出隱藏條件是解一些復(fù)雜幾何問題常用的方法．