Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交DE的延長線于F點，連接AD、CF．

（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）等腰直角三角形.

【解析】試題分析：

（1）先證四邊形ABDF是平行四邊形，再證結論；

（2）由四邊形ADCF是正方形來證明△ABC是等腰直角三角形.

試題解析：

（1）證明：∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE∥AB，

∵AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF=BD，則AF=DC=AD，

∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ADCF是正方形，

理由：∵四邊形ADCF是正方形，∴∠ADC=90°，AC=DF，AF=DC.

∵點D，E分別是邊BC，AC的中點，AB=2DE，∴AB=DF，所以AB=AC.

∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF=BD，∴BD=CD=AD，

∴∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形.