Question

已知：拋物線，頂點C（1，-4），與x軸交于A、B兩點，A（-1，0）．

　 （1）求這條拋物線的解析式；

　 （2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線的對稱軸交于

E，依次連接A、D、B、E，點Q為AB上一個動點（Q與A、B兩點不重合），過點Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，請判斷　　　　 是否為定值，若是，請求出此定值，若不是，請說明理由；

　 （3）在（2）的條件下，若點H是線段EQ上一點，過點H作MN⊥EQ，

MN分別與邊AE、BE相交于M、N（M與A、E不重合，N與E、B不重合），

請判斷　　　　 是否成立，若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線解析式為

            將A（-1，0）帶入

            得

∴

即

          （2）        是定值1

               ∵AB是直徑

               ∴∠AEB=90°

               ∵QF⊥AE

∴QF∥BE

               ∴       

               同理可得       

               ∴

                    ∴        為固定值1

          （3）         成立

∵直線EC為拋物線對稱軸

               ∴EC垂直平分AB

               ∴AE=EB

               ∴∠FAQ=45°

               ∴AF=FQ

∵QF∥BE

∴

∴        

∵MN⊥EQ

∴∠QEF=∠MNE

又∵∠QFE=∠MEN=90°

  ∴△QEF≌△MNE

∴         

  ∴