Question

（2010•錦州）如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＞x₂，與y軸交于點C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²-2x-8=0的兩個根．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點P是線段AB上的動點，過點P作PE∥AC，交BC于點E，連接CP，當△CPE的面積最大時，求點P的坐標；
（3）探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q，使△QBC成為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先通過解方程求出A，B兩點的坐標，然后根據A，B，C三點的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）本題要通過求△CPE的面積與P點橫坐標的函數關系式而后根據函數的性質來求△CPE的面積的最大值以及對應的P的坐標．△CPE的面積無法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面積差來求，設出P點的坐標，即可表示出BP的長，可通過相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP邊上的高，然后根據三角形面積計算方法即可得出△CEP的面積，然后根據上面分析的步驟即可求出所求的值．
（3）本題要分三種情況進行討論：
①QC=BC，那么Q點的縱坐標就是C點的縱坐標減去或加上BC的長．由此可得出Q點的坐標．
②QB=BC，此時Q，C關于x軸對稱，據此可求出Q點的坐標．
③QB=QC，Q點在BC的垂直平分線上，可通過相似三角形來求出QC的長，進而求出Q點的坐標．
解答：解：（1）∵x²-2x-8=0，∴（x-4）（x+2）=0．
∴x₁=4，x₂=-2．
∴A（4，0），B（-2，0）．
又∵拋物線經過點A、B、C，設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∴．
∴．
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+x+4．

（2）設P點坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G．
∵點B坐標為（-2，0），點A坐標（4，0），
∴AB=6，BP=m+2．
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC．
∴=．
∴=
∴EG=．
∴S_△CPE=S_△CBP-S_△EBP
=BP•CO-BP•EG
∴S_△CPE=（m+2）（4-）
=-m²+m+．
∴S_△CPE=-（m-1）²+3．
又∵-2≤m≤4，
∴當m=1時，S_△CPE有最大值3．
此時P點的坐標為（1，0）．

（3）存在Q點，
∵BC=2，
設Q（1，n），
當BQ=CQ時，
則3²+n²=1²+（n-4）²，
解得：n=1，
即Q₁（1，1）；
當BC=BQ=2時，9+n²=20，
解得：n=±，
∴Q₂（1，），Q₃（1，-）；
當BC=CQ=2時，1+（n-4）²=20，
解得：n=4±，
∴Q₄（1，4+），Q₅（1，4-）．
綜上可得：坐標為Q₁（1，1），Q₂（1，），Q₃（1，-），Q₄（1，4+），Q₅（1，4-）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形面積的求法、三角形相似、探究等腰三角形的構成情況等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．