Question

【題目】如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，DG⊥CE，點G為垂足．
（1）求證：DC=BE；
（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵G是CE的中點，DG⊥CE，

∴DG是CE的垂直平分線，

∴DE=DC，

∵AD是高，CE是中線，

∴DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，

∴DE=BE= AB，

∴DC=BE；

（2）解：∵DE=DC，

∴∠DEC=∠BCE，

∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，

∵DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

∴∠B=2∠BCE，

∴∠AEC=3∠BCE=66°，則∠BCE=22°．

【解析】（1）由G是CE的中點，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=BE= AB，即可得到DC=BE；（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根據三角形外角性質得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，則∠B=2∠BCE，由此根據外角的性質來求∠BCE的度數．
【考點精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的相關知識點，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．