Question

【題目】（探索發現）

如圖1，是一張直角三角形紙片，，小明想從中剪出一個以為內角且面積最大的矩形，經過多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為______．

（拓展應用）

如圖2，在中，，BC邊上的高，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，求出矩形PQMN面積的最大值用含a、h的代數式表示；

（靈活應用）

如圖3，有一塊“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明從中剪出了一個面積最大的矩形為所剪出矩形的內角，直接寫出該矩形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）當時，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為567．

【解析】

（1）由中位線知EF=BC、ED=AB、由可得；

（2）由△APN∽△ABC知，可得PN=a-，設PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN=，據此可得；

（3）結合圖形過DE上的點P作PG⊥BC于點G，延長GP交AE延長線于點I，過點P作PH⊥AB，設PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知，據此求得EI=，PH=，再根據矩形BGPH的面積S=可得答案．

解：、ED為中位線，

，，，，

又，

四邊形FEDB是矩形，

則，

故答案為：；

，

∽，

，可得，

設，由，

當時，最大值為．

如圖，過DE上的點P作于點G，延長GP交AE延長線于點I，過點P作于點H，

則四邊形AHPI和四邊形BGPH均為矩形，

設，則，

，，，，

，，

由∽知，

即，得，

，

則矩形BGPH的面積，

當時，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為567．