Question

如圖，點C在⊙O的直徑AB的延長線上，D為⊙O上一點，E是

BD

的中點，連接AD、CE并延長相交于點F，且AF⊥CF．
（1）求證：CF與⊙O相切；
（2）若EF=6，CE=10，求⊙O的直徑的長．

Answer 1

分析：（1）要證明CF與⊙O相切；可以證明OE⊥CF．
（2）連接OE，則△COE∽△CAF，根據相似三角形的對應邊的比相等以及在直角△CAF中，根據勾股定理可以得到關于半徑與BC長的方程組，就可以求出．

解答：（1）證明：連接OE、OD；
∵E是

BD

的中點，
∴∠BOE=∠DOE=

1

2

∠BOD；
∵∠A=

1

2

∠BOD，
∴∠EOB=∠A；
∴OE∥AF；
∵AF⊥CF，
∴CF與⊙O相切；
（2）解：設半徑為R，CB=x，則：

x+R R = 10 6 (x+R)2=R2+102

，
∴2R=15；
∴⊙O的直徑的長為15．

點評：證明切線可以證明直線經過半徑的外端點，并且垂直于這條半徑．