Question

（2006•太原）如圖：已知直線y=kx+1經過點A（3，-2）、點B（a，2），交y軸于點M，
（1）求a的值及AM的長；
（2）在x軸的負半軸上確定點P，使得△AMP成等腰三角形，請你直接寫出點P的坐標；
（3）將直線AB繞點A逆時針旋轉45°得到直線AC，點D（-3，b）在AC上，連接BD，設BE是△ABD的高，過點E的射線EF將△ABD的面積分成2：3兩部分，交△ABD的另一邊于點F，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A點坐標代入可求出直線的解析式，再把B點坐標代入求出a值，由兩點間的距離公式求得AM的值；
（2）使△AMP為等腰三角形，應分三種情況：①AP=MP；②AM=AP；③AM=MP，由等腰三角形的性質可求得點P的坐標；
（3）由題意知，AB繞點A逆時針旋轉45°得到的直線AC與與x軸平行，求得點D的坐標，求得△ADB的面積后，點P的位置應分兩種情況計算：當點P在AB上時，又分兩種情況；當點P在BD上時，可得是不存在的．
解答：解：（1）∵點A（3，-2）在直線y=kx+1上，
∴-2=3k+1，
∴k=-1，
∴解析式為y=-x+1，把點B坐標代入解析式，
得：2=-a+1，
∴a=-1，
∴點B坐標為（-1，2），
令x=0，則y=1，
∴點M的坐標為（0，1），
∴AM==3；

（2）設P點坐標為（a，0），
①當AP=MP時，則△APM是等腰三角形，
∴（a-3）²+4=a²+1，
解得：a=2，
∴P坐標（2，0）；
不符合題意，故舍去，
②當AM=AP時，
∴3=，
解得a=3-，
∴P坐標（3-，0）；
③當MP=AM=3時，
點P的坐標為（-，0）；

（3）直線AB繞點A逆時針旋轉45°時，得到的直線AC與x軸平行，
∴D（-3，b），
∴b=-2，
∵BE是△ABD的高，
∴點E坐標為（-1，-2），
∴AD=6，BE=4，
又S_△ABD=AD•BE=×6×4=12，
EF將△ABD的面積分成2：3兩部分，
∴兩部分面積分別為12×=，12×=，
設點F在AB上，則F點坐標為（a，b），
則×4×（2+b）=，
∴b=，
將F（a，）代入y=-x+1得，a=，
同理可得另一種可能F（-，），
若F在AB上，F或F，
若F在BD上，由S_△BDE=DE•BE=4＜12×=，故這種情況不存在．
點評：本題考查的是一次函數的性質以及考生的理解圖形能力，難度中上，注意要分類討論．