Question

【題目】已知關于x的一元二次方程有兩個實數根x1，x2．

（1）求實數k的取值范圍；

（2）是否存在實數k使得成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】

（1）由題意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通過解該不等式即可求得k的取值范圍；

（2）假設存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根與系數的關系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0轉化為3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通過解不等式可以求得k的值．

（1）∵原方程有兩個實數根，

∴△≥0

即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，

∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ，

∴1﹣4k≥0，

∴k≤，

∴當k≤時，原方程有兩個實數根；

（2）假設存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立，

∵x1，x2是原方程的兩根，

∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，

由x1·x2-x12-x22≥0，

得3x1·x2-（x1+x2）2≥0

∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，

整理得：﹣（k﹣1）2≥0，

∴只有當k=1時，上式才能成立；

又∵由（1）知k≤，

∴不存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.