Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6．點D在AB邊上(不包括端點)，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點E和點F，連結EF．

(1)判斷四邊形DECF的形狀，并證明；

(2)線段EF是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形DECF是矩形，理由見解析；（2）存在，EF=4.8．

【解析】

(1)根據勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，∠C=90°，由垂直的定義得到∠DEC=DFC=90°，于是得到四邊形DECF是矩形；

(2)連結CD，由矩形的性質得到CD=EF，當CD⊥AB時，CD取得最小值，即EF為最小值，根據三角形的面積即可得到結論．

解：(1)四邊形DECF是矩形，

理由：∵在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，

∴BC2+AC2=82+62=102=AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，

∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC=DFC=90°，

∴四邊形DECF是矩形；

(2)存在，連結CD，

∵四邊形DECF是矩形，

∴CD=EF，

當CD⊥AB時，CD取得最小值，即EF為最小值，

∵S△ABC=ABCD=ACBC，

∴10×CD=6×8，

∴EF=CD=．