Question

【題目】如圖在平面直角坐標系中，已知點A(0，2)，△AOB為等邊三角形，P是x軸負半軸上一個動點(不與原點O重合)，以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊三角形△APQ．

(1)求點B的坐標；

(2)在點P的運動過程中，∠ABQ的大小是否發(fā)生改變？如不改變，求出其大小：如改變，請說明理由；

(3)連接OQ，當(dāng)OQ∥AB時，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)點B的坐標為B(3，)；(2)∠ABQ＝90°，始終不變，理由見解析；(3)P的坐標為(﹣3，0)．

【解析】

（1）如圖，作輔助線；證明∠BOC＝30°，OB＝2 ，借助直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題；

（2）證明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解決問題；

（3）根據(jù)點P在x的負半軸上，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果

(1)如圖1，過點B作BC⊥x軸于點C，

∵△AOB為等邊三角形，且OA＝2，

∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，

∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°，

∴BC＝OB＝，OC＝＝3，

∴點B的坐標為B(3，)；

(2)∠ABQ＝90°，始終不變．理由如下：

∵△APQ、△AOB均為等邊三角形，

∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB，

∴∠PAO＝∠QAB，

在△APO與△AQB中，，

∴△APO≌△AQB(SAS)，

∴∠ABQ＝∠AOP＝90°；

(3)如圖2，∵點P在x軸負半軸上，點Q在點B的下方，

∵AB∥OQ，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．

又OB＝OA＝2，可求得BQ＝3，

由(2)可知，△APO≌△AQB，

∴OP＝BQ＝3，

∴此時P的坐標為(﹣3，0)．