Question

【題目】如圖①，在△ABC中，CD、CE分別是△ABC的高和角平分線，∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β）．

（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度數；

（2）試用α、β的代數式表示∠DCE的度數（直接寫出結果）；

（3）如圖②，若CE是△ABC外角∠ACF的平分線，交BA延長線于點E，且α﹣β＝30°，求∠DCE的度數．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）；（3）75°．

【解析】

（1）三角形的內角和是180°，已知∠BAC與∠ABC的度數，則可求出∠BAC的度數，然后根據角平分線的性質求出∠BCE，再利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和求出∠DEC的度數，進而求出∠DCE的度數；
（2）∠DCE＝ ．
（3）作∠ACB的內角平分線CE′，根據角平分線的性質求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=∠ACB+∠ACF=90°，進而求出∠DCE的度數．

解：（1）因為∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，

又因為CE是∠ACB的平分線，

所以．

因為CD是高線，

所以∠ADC＝90°，

所以∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°，

所以∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°．

（2）．

（3）如圖，作∠ACB的內角平分線CE′，

則．

因為CE是∠ACB的外角平分線，

所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝＝＝90°，

所以∠DCE＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．

即∠DCE的度數為75°．