Question

【題目】如圖，在正方形中，是對角線上的一個動點，連接，過點作交于點．

（1）如圖①，求證：；

（2）如圖②，連接為的中點，的延長線交邊于點，當時，求和的長；

（3）如圖③，過點作于，當時，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；；（3）面積為.

【解析】

（1）過點M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性質得出∠ABD=∠DBC=45°，由角平分線的性質得出MF=MG，證得四邊形FBGM是正方形，得出∠FMG=90°，證出∠AMF=∠NMG，證明△AMF≌△NMG，即可得出結論；

（2）證明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出，求出AN=2，由勾股定理得出BN==4，由直角三角形的性質得出OM=OA=ON=AN=，OM⊥AN，證明△PAO∽△NAB，得出，求出OP=，即可得出結果；

（3）過點A作AF⊥BD于F，證明△AFM≌△MHN得出AF=MH，求出AF=BD=×6=3，得出MH=3，MN=2，由勾股定理得出HN=，由三角形面積公式即可得出結果．

（1）證明：過點作于，作于，如圖①所示：

，

四邊形是正方形，

，

，

，

，

四邊形是正方形，

，

，

，

，

，

在和中，

，

；

（2）解：在中，由（1）知：，

，

，

，

，

在中，，

，

，

解得：，

在中，，

在中，是的中點，

，

，

，

，

，

，即： ，

解得：，

；

（3）解：過點作于，如圖③所示：

，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

在等腰直角中，，

，

，

，

，

的面積為．