Question

【題目】如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y=ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B．

（1）求m的值；

（2）求函數y=ax2+b（a≠0）的解析式；

（3）拋物線上是否存在點M，使得∠MCB=15°？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）-3；（2）y=x2﹣3；（3）M的坐標為（3，6）或（，﹣2）．

【解析】（1）把C（0，﹣3）代入直線y=x+m中解答即可；

（2）把y=0代入直線解析式得出點B的坐標，再利用待定系數法確定二次函數關系式即可；

（3）分M在BC上方和下方兩種情況進行解答即可．

（1）將（0，﹣3）代入y=x+m，

可得：m=﹣3；

（2）將y=0代入y=x﹣3得：x=3，

所以點B的坐標為（3，0），

將（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax2+b中，

可得：，

解得：，

所以二次函數的解析式為：y=x2﹣3；

（3）存在，分以下兩種情況：

①若M在B上方，設MC交x軸于點D，則∠ODC=45°+15°=60°，

∴OD=OCtan30°=，

設DC為y=kx﹣3，代入（，0），可得：k=，

聯立兩個方程可得：，

解得：，，

所以M1（3，6）；

②若M在B下方，設MC交x軸于點E，則∠OEC=45°﹣15°=30°，

∴OE=OCtan60°=3，

設EC為y=kx﹣3，代入（3，0）可得：k=，

聯立兩個方程可得：，

解得：，， ，

所以M2（，﹣2），

綜上所述M的坐標為（3，6）或（，﹣2）．