Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點C和D，在直線CD上有一點P．
（1）如果P點在C、D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數量關系？請說明理由．(提示：過點P作PE∥l₁) 
（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？

Answer 1

（1）∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）∠PBD=∠PAC+∠APB，或∠PAC=∠PBD+∠APB．

試題分析：（1）當P點在C、D之間運動時，首先過點P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根據兩直線平行，內錯角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）當點P在C、D兩點的外側運動時，由直線l₁∥l₂，根據兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．
試題解析：（1）如圖①，當P點在C、D之間運動時，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：
過點P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）如圖②，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l₁上方時，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如圖③，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l₂下方時，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．