Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，AC與BD交于點E，且AE=AB．

（1）DA=DB，求證：AB=CB；

（2）如圖2，△ABC繞點C逆時針旋轉30°得到△FGC，點A經過的路徑為，若AC=4，求圖中陰影部分面積S；

（3）在（2）的條件下，連接FB，求證：FB為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）欲證明AB=BC，只要證明∠BAC=∠ACB即可；

（2）設AB的延長線交FG于M，連接CM，在BC上取一點N，使得CN=NM．證明Rt△CBM≌Rt△CGM，可得∠NCM=∠NMC=15°，從而∠MNB=30°，設BM=a，則MN=CN=2a，BN=a，由2a+a=2，可求出BM的長，然后根據三角形面積公式計算即可；

（3）連接OB、BF、作FH⊥AC于H．只要證明四邊形OBFH是矩形即可解決問題；

（1）證明：如圖1中，

∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA，

∵AE=AB，

∴∠AEB=∠ABE，

∴∠AEB=∠DAB，

∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB，

∴∠EAB=∠ADE，

∵∠ADE=∠ACB，

∴∠EAB=∠ACB，

∴AB=BC．

（2）如圖2中，設AB的延長線交FG于M，連接CM，在BC上取一點N，使得CN=NM．

∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，

∴AB=BC=2，

∵BC=CG，CM=CM，

∴Rt△CBM≌Rt△CGM，

∴∠MCB=∠MCG=15°，

∵NC=NM，

∴∠NCM=∠NMC=15°，

∴∠MNB=30°，設BM=a，則MN=CN=2a，BN=a，

∴2a+a=2，

∴a=4﹣2，

∴S陰=2××BM×BC=（4﹣2）×=16﹣8．

（3）如圖2﹣1中，連接OB、BF、作FH⊥AC于H．

∵∠ACF=30°，∠FHC=90°，

∴FH=CF=AC=OA=OB，

∵BA=BC，OA=OC，

∴BO⊥AC，

∴FH∥OB，

∴四邊形OBFH是平行四邊形，

∵∠BOH=90°，

∴四邊形OBFH是矩形，

∴∠OBF=90°，即OB⊥BF；

∴BF是⊙O的切線．