Question

【題目】如圖1所示，四邊形AEFG與四邊形ABCD是正方形，其中G、A、B三點在同一直線上．連接DG、BE．完成下面問題：

（1）求證：BE=DG；

（2）如圖2，將正方形AEFG繞點A逆時針轉過一定角度時，小明發現：BE=DG且BE⊥DG，請你幫助小明證明這兩個結論；

（3）如圖3，小明還發現：在旋轉過程中，分別連接EG、GB、BD、DE的中點，得到的四邊形MNPQ是正方形．若AB=a，AE=b其中a＞b，你能幫小明求出正方形MNPQ的面積的范圍嗎？寫出過程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）（a﹣b）2≤正方形MNPQ的面積≤（a+b）2．

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質得到AD=AB，AE=AG，∠DAG=∠BAE=90°，證明△DAG≌△BAE，根據全等三角形的性質證明結論；

（2）根據全等三角形的性質和互余的概念以及垂直的定義證明即可；

（3）根據三角形中位線定理得到MN=BE，根據旋轉的性質和正方形的面積公式計算即可．

（1）證明：∵四邊形AEFG與四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，AE=AG，∠DAG=∠BAE=90°，

在△DAG和△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE，

∴BE=DG；

（2）證明：如圖2，∵∠EAG=∠BAD=90°，

∴∠DAG=∠BAE，

在△DAG和△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE，

∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，

∵∠ABE+∠AHB=90°，∠AHB=∠DHE，

∴∠ADG+∠DHE=90°，

∴BE⊥DG，

∴BE=DG且BE⊥DG；

（3）解：∵M、N分別是EG、GB的中點，

∴MN=BE，

∴當BE最小時，正方形MNPQ是面積最小，BE最大時，正方形MNPQ是面積最大，

由題意可知，當點E旋轉到線段AB上時，BE最小為a﹣b，

當點E旋轉到線段AB的延長線上時，BE最答為a+b，

∴（a﹣b）2≤正方形MNPQ的面積≤（a+b）2．