Question

如圖，拋物線的頂點為C（-1，-1），且經過點A、點B和坐標原點O，點B的橫坐標為-3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D為拋物線上的一點，點E為對稱軸上的一點，且以點A、O、D、E為
頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點D的坐標；
（3）若點P是拋物線第一象限上的一個動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點為C（-1，-1），
∴設拋物線的解析式為：y=a（x+1）²-1，
∵拋物線經過（0，0），
∴將x=0，y=0代入拋物線解析式得：0=a-1，
解得：a=1，
∴y=（x+1）²-1=x²+2x，
令y=0時，x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
∴A（-2，0）；
（2）如圖所示，分三種情況考慮：
當D₁在第一象限時，若四邊形AOD₁E₁為平行四邊形，
∴AO=E₁D₁=2，
∵拋物線對稱軸為直線x=-1，
∴D₁橫坐標為1，
將x=1代入拋物線y=x²+2x=1+2=3，即D₁（1，3）；
當D₂在第二象限時，同理D₂（-3，3）；
當D₃在第三象限時，若四邊形AE₂OD₃為平行四邊形，此時D₃與C重合，即D₃（-1，-1）；
（3）存在，
∵點B在拋物線上，
∴當x=-3時，y=9-6=3，
∴B（-3，3），
根據勾股定理得：BO²=9+9=18；CO²=1+1=2；BC²=16+4=20，
∴BO²+CO²=18+2=20，
∴BO²+CO²=BC²，∴△BOC為直角三角形，
假設存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似，
設P（m，n），由題意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，
①若△AMP∽△BOC，則=，即=，
整理得：m+2=3（m²+2m）=0，即3m²+5m-2=0，
解得：m₁=，m₂=-2（舍去），
m₁=時，n=+=，
∴P（，）；
②若△AMP∽△COB，則=，即=，
整理得：m²-m-6=0，
解得 m₁=3，m₂=-2（舍去），
當m=3時，n=9+6=15，
∴P（3，15），
綜上所述，符合條件的點P有兩個，分別是P₁（，），P₂（3，15）．
分析：（1）根據頂點坐標設出拋物線的頂點式解析式，將原點坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）分三種情況考慮，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四邊形的性質及坐標與圖形性質求出D坐標即可；
（3）根據題意畫出圖形，根據B橫坐標為-3，代入拋物線解析式求出縱坐標，確定出B坐標，進而求出BC，BO，OC的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC為直角三角形，若P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似，設P（m，n），由題意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，根據相似得比例，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而求出n的值，即可確定出P的坐標．
點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求拋物線解析式，平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，利用了數形結合及分類討論的思想，分類討論時注意考慮問題要全面．