Question

如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AF平分∠DAE

(1)若正方形ABCD的邊長為4,BE=3,求EF的長？
(2)求證：AE=EC+CD．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°．
∵BE=3，∴EC=1．∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=CF=2．
在Rt△EFC中，由勾股定理得

（2）證明：過F作FH⊥AE于H.

∵AF平分∠DAE，∠D=90°，F(xiàn)H⊥AE.
∴∠DAF=∠EAF，F(xiàn)H=FD，
在△AHF與△ADF中，
∵AF為公共邊，∠DAF=∠EAF，F(xiàn)H=FD.
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴AH=AD，HF=DF．
又∵DF=FC=FH，F(xiàn)E為公共邊，
∴△FHE≌△FCE．
∴HE=CE．
∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，
∴AE=EC+CD．

（1）由正方形的性質(zhì)以及勾股定理求出EF；
（2）作FH⊥AE于G，由AF平分∠DAE證明△FHE≌△FCE，可以得出GE=CE，進(jìn)而可以得出結(jié)論AE=EC+CD．
要證明兩條線段的和等于第三條線段長常用的方法是“取長補(bǔ)短”.