Question

已知，在平面直角坐標系中，反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象與一次函數y=x+b的圖象交于A（-1，b-1）、B（-5，b-5）兩點．
（1）求反比例函數與一次函數的解析式；
（2）設拋物線y=-x²+b′x+c（c＞0）的頂點P在直線AB上，且PA：PB=1：3，求拋物線的解析式；
（3）把以上函數圖象同步向右平移，使直線AB與兩坐標軸所圍成的三角形的面積等于2，求平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

（1）把A（-1，b-1）、B（-5，b-5）兩點代入y=

k

x

，得：

b-1=-k b-5=- k 5

，
解得：

k=-5 b=6

，
∴正比例函數解析式為：y=x+6，
反比例函數反比例函數解析式為：y=-

5

x

；

（2）∵直線AB為y=x+6，且A（-1，5），B（-5，1），
過點A，B分別作y軸、x軸的平行線，它們相交于點C（-1，1），
則AC=BC=4，
①P點在線段AB上時，作PE∥BC，交AC于E，作PD∥AC交BC于D，
則

PE

BC

=

PA

AB

，

PD

AC

=

PB

AB

，
∵

PA

PB

=

1

3

，
∴

PA

AB

=

1

4

，

PB

AB

=

3

4

，
∴PE=1，PD=3，
∴P（-2，4），
∴拋物線的解析式為：y=-（x-1） ²+4，
即y=-x ²-4x，
此時，c=0，不符合題意，舍去；
②當P點在線段BA的延長線上時，同理可得：P（1，7）
∴拋物線的解析式為：y=-（x-1） ²+7，
即y=-x ²+2x+6，
此時，c=6＞0，符合題意，
∴由①、②可知，拋物線的解析式為：y=-x ²+2x+6；

（3）設平移后的直線解析式為：y=x+t，
它交x軸于點（-t，0），交y軸于點（0，t），
∴S_△=

1

2

×|-t|×|t|=2，
∴t=±2，
∴平移后的直線解析式為：y=x+2或y=x-2，
即圖象向右平移了4個單位或8個單位，
此時的拋物線解析式為：y=-（x-1-4）²+7或y=-（x-1-8）²+7，
即y=-x ²+10x-18或y=-x ²+18x-74．